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Die Menge Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N} ist abz¨ahlbar nach dem Lemma. Die Menge Z × (Z {0}) = Z × {q} q 0 ist ebenfalls abz¨ahlbar nach dem Lemma. Die Abbildung Z × (Z {0}) → Q, p die ein gegebenes Paar (p, q) auf den Bruch q wirft, ist surjektiv, also ist Q abz¨ahlbar. 5. Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abz¨ahlbar. Beweis. Sei φ : N → R eine beliebige Abbildung. Es ist zu zeigen, dass φ nicht surjektiv sein kann. Sei [a0 , b0 ] = [0, 1] das Einheitsintervall. Teilt man das Intervall [a0 , b0 ] in drei gleich große Teilintervalle, so kann φ(1) maximal in zweien von diesen liegen.

Die Existenz und Eindeutigkeit von R ist nicht umsonst in den Appendix ¨ verbannt worden, da diese Uberlegungen besser mit etwas mehr mathematischer Erfahrung verstanden werden konnen. Es wird daher dem Leser ¨ empfohlen, zun¨achst die axiomatische Darstellung zu akzeptieren und da¨ mit zu arbeiten, um sich dann sp¨ater, mit mehr Ubung, dem Problem der Existenz und Eindeutigkeit des Korpers der reellen Zahlen zu stellen. 4. (a) Jede nach unten beschr¨ankte Teilmenge M ∅ von R besitzt eine gr¨oßte untere Schranke, genannt das Infimum von M, geschrieben inf(M).

Zu jedem x ∈ R existiert eine eindeutig bestimmte ganze Zahl k ∈ Z so dass k ≤ x < k + 1. Man schreibt k = [x] und nennt diese Zahl die Gauß-Klammer von x. Beweis. Sei zun¨achst x ≥ 0. 7 ein kleinstes Element n0 . Sei k = n0 − 1 ∈ Z, dann folgt k ≤ x < k + 1 = n0 , so dass die Proposition fur ¨ x ≥ 0 bewiesen ist. Ist x < 0 und ist x ∈ Z, so folgt die Behauptung auch. Ist x Z, dann gibt es fur ¨ −x ≥ 0 ein l ∈ Z mit l < −x < l + 1, woraus −l − 1 < x < −l folgt, so dass mit k = −l − 1 die Proposition folgt.

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